最新比較法證明不等式的原理(5篇)

每個人都曾試圖在平淡的學習、工作和生活中寫一篇文章。寫作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。相信許多人會覺得范文很難寫？下面是小編幫大家整理的優(yōu)質(zhì)范文，僅供參考，大家一起來看看吧。

比較法證明不等式的原理篇一

北京二十五中 馮睿

教學目標

1．理解，掌握比較法證明不等式．

2．培養(yǎng)滲透轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想，提高分析、解決問題能力． 3．鍛煉學生的思維品質(zhì)（思維的嚴謹性、靈活性、深刻性）． 教學重點與難點

求差比較法證明不等式是本節(jié)課的教學重點；求差后，如何對“差式”進行適當變形，并判斷符號是本節(jié)課教學難點．

教學過程設計

（一）不等式證明的含義

師：前面我們已經(jīng)學習了不等式性質(zhì)．今天我們要以這些性質(zhì)作為依據(jù)研究不等式證明．

什么是不等式證明呢？（板書）1．什么是不等式證明 我們通過具體題說明．

例1 求證：（2x+1）（3x-2）＞（5x＋9）（x-2）． 這道題含量是什么？（學生遲疑，教師給以啟發(fā)）

師：同學們可以想一想恒等式證明的含義．

生：這道題含義是對任意實數(shù)x，這個不等式都成立．

（二）引入比較法證明不等式，理解、認識比較法 師：很好，那么如何證明這個不等式呢？（讓學生稍作思考）生：求差．

（學生口述，教師板書）

證明：由于（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18）＝x2+16≥16＞0，則（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）． 師：怎么想到“求差”的呢？

生：以前比較兩個實數(shù)大小時曾經(jīng)用過這種方法．

（學生回答雖較為膚淺，但教師仍應鼓勵并進一步引導學生思考）師：在這里用“求差”有什么好處？（學生思考片刻回答）

生：直接證這個不等式有困難，轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0比大小比較容易證明．

師：是的，在這里，通過“求差”將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題；將二個一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

這種證明的依據(jù)又是什么呢？ 生：依據(jù)是a-b＞0

a＞b，所以要證a＞b，只要證a-b＞0．

師：這種證明的理論依據(jù)是a-b＞0 a＞b，由a-b＞0來推a＞b是證明不等式常用方種中的一種，叫比較法，這種比較法不妨稱作求差比較法．（板書）2．不等式證明的常用方法（1）比較法（求差比較法）

（三）在求差比較法中，求差后對“差式”適當變形并判斷符號的方法 師：下面我們將通過例題來歸納、總結(jié)求差比較法證明不等式時，如何對差式變形并判斷差式符號．

例2 求證：x2＋3＞3x．

（學生口述解題過程，教師板書）

師：求差后，進行等價變形時用的什么方法？ 生：配方法．

師：為什么用配方法？

生：因為求差后，式子中-3x的符號不確定，所以不容易判斷符號，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式，這種差式的符號可以判斷．

師：也就是說變形的目的在于能判斷差式的符號，這道題用的是配方法． 例3 已知：a，b∈r＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3． 師：這道題含義是什么？

生：對于a，b屬于任意正實數(shù)，不等式都成立． 師：請同學們考慮如何用比較法證明．（學生口述，教師板書）

證明：a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2）由于a，b∈r＋，則a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0，所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0，即（a5＋b5）（a3b2＋a2b3）≥0． 因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．

師：這道題是用什么方法對差式進行等價變形． 生：對差式進行因式分解． 師：這樣變形的目的是什么？

生：將差式因式分解變形為幾個因式積的形式，對每個因式進行分析，判斷符號，從而使因式積的符號可以判斷，差式符號即可判斷．

師：說得很好，變形的目的是能判斷差式符號，這道題采用的是因式分解的方法，在判斷符號時要注意表述嚴謹、周密，正確判斷a，b∈r+范圍內(nèi)每個因式符號．

師：這道題含義是什么？

生：對任意實數(shù)x，不等式都成立．（此時有的學生有異議）

生：我覺得應該考慮左式分式有意義的條件． 師：左式分式有意義的條件是什么？ 生：x∈r．

師：對．這道題忽視分式有意義的條件是不對的．只不過在這道題中條件就是x∈r，所以這道題的是對任意實數(shù)x，不等式都成立．請證明這道題．

（學生口述，教師板書）

師：這道題又是如何變形的呢？

生：這道題求差后，先通分，然后將分子配方，最后判斷符號． 師：通過以上例題，用比較法證明不等式可以歸納為哪些步驟． 生：有三步：（1）求差；（2）變形；（3）判斷符號． 師：在這些步驟中哪一步最重要． 生：我認為變形最重要． 師：為什么？

生：因為變形適當才能判斷差式符號． 師：怎么就叫“變形適當”？

生：通過變形將差式化為容易判斷符號的式子．

師：對．求差后，把所得差式進行合理變形，化為容易判斷符號的式子是求差比較證明不等式的關(guān)鍵．在變形中，有哪些具體方法呢？

生：變形時可以用配方法、因式分解、通分．

師：當然，除了這些主要的方法，在今后學習中還要不斷積累方法．

（學生審題，考慮片刻）

師：這道題問的是兩個式子大小關(guān)系，如何判斷？

生：可以利用求差比較法證明不等式的方法．先求差，再變形，轉(zhuǎn)化為能與0比大小的式子，就可以判斷這兩個式子的大小關(guān)系．

（學生口述，教師板書）

師：先通分，再對分子進行因式分解，現(xiàn)在如何判斷符號呢？（讓學生先討論，再回答）生：需要分類討論？ 師：為什么要分類討論？

生：因為分子中國式a-b的符號隨著a，b大小關(guān)系的不同而有不同的符號．

師：如何分類？

生：分為a＞b，a=b，a＜b三類討論．（學生口述，教師板書）

由于a，b＜0，則a·b＞0，a2＞0，b2＞0，a＋b＜0，進而2ab＞0，a2＋b2＞0，則（a2＋b2）（a＋b）＜0．

師：這道題在判斷符號時用分類討論，分類討論是重要的數(shù)學思想，要知道為什么分類？怎么分類？分類時要不重不漏．

（四）小結(jié)

在了解不等式證明的含義的基礎(chǔ)上，今天主要學習了不等式證明常用方法之一，比較法（或稱求差比較法）證明不等式，它是不等式證明中最基本、最重要的證明方法．要明確求差比較法證明不等式的依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡化是求差比較法證明不等式中所蘊含的重要數(shù)學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在今后學習中繼續(xù)積累方法． 比較法證明不等式除了求差比較法，還有沒有其他方式呢？請同學們課下思考研究．

（五）布置作業(yè)

用比較法證明下列不等式：

（左式-右式=（q＋1）（q-1）2（q2＋1）（q2＋q＋1））

4．已知a，b∈r＋，求證：aabb≥abba．（此題可用求商比較法證明）課堂教學設計說明

1．本節(jié)課是不等式證明的第一節(jié)課，因此需要了解不等式證明的含義，在這里是通過具體例題說明的并不需要研究不等式證明的一般定義． 2．例1是一道很簡單的題，學生會很自然地使用求差．這時教師引導學生深入思考這種方法正確性的依據(jù)以及這種方法中所蘊含的數(shù)學思想方法，提高學生對求差比較法的認識，同時使學生感受到淺顯、平淡知識中仍有一些值得思索和注意的地方，逐漸培養(yǎng)學生良好思維品質(zhì)，有利于學生能力提高． 3．例2，例3，例4三道題主要目的在于讓學生歸納、總結(jié)，求差后對差式變形，并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點，應著重解決．首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時常用方法，有利于難點的突破．例5帶有一些綜合性，加強學生對求差比較法認識和掌握，并考查對分類討論思想的認識，例題設計目的在于突出重點，突破難點．

4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，教師通過設疑、暗示，課堂討論等多種教學形式和方法，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì)．

比較法證明不等式的原理篇二

比較法證明不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈r+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：ab1b2b3…bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論b。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.用極限法取2或-2，結(jié)果大于等于-4，因?qū)儆?-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結(jié)果就只能大于-

4下面這個方法算不算“比較法”啊?

作差m=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

構(gòu)造函數(shù)m=f(c)=(a+b)c+ab+4

這是關(guān)于c的一次函數(shù)(或常函數(shù))，在com坐標系內(nèi)，其圖象是直線，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因為a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因為a>-2,b>-2)

所以函數(shù)f(c)在c∈(-2,2)上總有f(c)>0

即m>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

設x,y∈r,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)2≥0

(2y-1)2≥0

x2-2x+1≥0

4y2-4x+1≥0

x2-2x+1+4y2-4x+1≥0

x2+4y2+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函數(shù)的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為r，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據(jù)a-b>0a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

當b>0時，a>b>1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據(jù)題設可轉(zhuǎn)化為等價問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法。

比較法證明不等式的原理篇三

§4 不等式的證明

4．1 比較法證明不等式

1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是()

a．t>sb．t≥s

c．t

2解析：選d.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知p＝q＝a2－a＋1，那么p、q的大小關(guān)系是()a＋a＋

1a．p>qb．p

c．p≥qd．p≤q

q解析：選d.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.p

13a－?2>0，又∵q＝a2－a＋1＝??2?

411p＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4

∴p≤q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1

1111a.b.

1111c.d.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：選b.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1?

11∴a＋1b＋1

an4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關(guān)系是bn＋1

()

a．a(chǎn)n>an＋1b．a(chǎn)n

c．a(chǎn)n＝an＋1d．與n的取值有關(guān)

a?n＋1?an解析：＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1

a＝，?bn＋b＋1??bn＋1?

∵a>0，b>0，n>0，n∈n＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關(guān)系是()

a．x>y>zb．z>x>y

c．y>z>xd．x>z>y

44解析：選d.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關(guān)系是()

a．a(chǎn)5b5c．a(chǎn)5＝b5d．不確定

解析：選b.∵{an}為等比數(shù)列設公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數(shù)列，設公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>＋m7．設a，b，m均為正數(shù)，且，則a與b的大小關(guān)系是________． aa＋m

b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m?

又a，b，m為正數(shù)．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3a8．若f(x)a＝4loga(x－1)，b＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，?x－3?

3x>3，又a>1，所以a>0，b>0.x?x－3?

又因為b－a＝[loga(x－1)－2]2≥0，a所以b≥a≤1.b

答案：≤

9．設n∈n，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關(guān)系是________．

logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1?

logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2??

logn＋1?n2＋2n?2?＝2?

logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正數(shù)，x、y∈r，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈r，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因為f(x)＝

證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在題中的地位相當(全對稱性)，a－ba不妨設a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥

相乘即可得證．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

當a>b時，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

當a0；當a＝b時，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

比較法證明不等式的原理篇四

高一數(shù)學【學案】第二章《不等式—*不等式的證明》

§*2.5.1不等式的證明（1）—比較法

掌握用比較法證明簡單不等式

.問1什么是比較法？如何運用比較法證明不等式？

例1（p47例1）比較x2與2x?2的大小.例2（人教b版選修4-5p19例2）

已知：b，m1，m2都是正數(shù)，a?b，m1?m2，求證：

a?m1a?m2.?b?m1b?m

2例3已知：f(x)?x3，若x1,x2?r，且x1?x2，求證：f(x1)?f(x2).8-

高一數(shù)學【學案】第二章《不等式—*不等式的證明》 例4設a、b?r?

?例5設a、b?r?，求證：(a?b)(an?bn)?2(an?1?bn?1)（n?n*）.x2?1n例6設函數(shù)f(x)?2，求證：對任意不小于3的自然數(shù)都有f(n)?.x?1n?1

1.比較3x和2x?1的大小.2.比較(ac?bd)和(a?b)(c?d)的大小.3.用比較法證明：a?b?c?ab?bc?ac.222222222

a2b2

??a?b.4.已知a，b為正數(shù)，用比較證明：ba

5.設a，b，c為不全相等的正數(shù)，用比較法證明：

2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b).6.已知x?y?z?1，用比較證明：x?y?z?

2221.3-89-

比較法證明不等式的原理篇五

g3.1038 不等式的證明—比較法

一、基本知識

1、求差法：a＞b? a－b＞0

a2、求商法：a＞b＞0??1并且b?0 b3、用到的一些特殊結(jié)論：同向不等式可以相加（正數(shù)可以相乘）；異向不等式可以相減；

4、分析法——執(zhí)果索因；模式：“欲證?，只需證?”；

5、綜合法——由因?qū)Ч?；模式：根?jù)不等式性質(zhì)等，演繹推理

6、分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達.二、基本訓練

1、已知下列不等式:

(1)x2?3?2x(x?r)(2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?r)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正確的個數(shù)為 ???????????????????()

(a)0(b)1(c)2(d)32、1＞a＞b＞0，那么???????????????????（）

a?ba?b(a)a＞＞ab＞b(b)b＞＞ab＞a2

2a?ba?b(c)a＞＞b＞ab(d)＞ab＞a＞b 22

??

3、如果－＜b＜a＜，則b－a的取值范圍是?????????（）2

2???(a)－?＜b－a＜0(b)－?＜b－a＜?(c)－＜b－a＜0(d)－＜b－a＜222

4a4、已知a?2,那么（填“>”或者“<”）4?a

2a5、若a?1，0?b?1，則logb

a?logb的范圍是_____________

6、若a?b?c?1，則a2?b2?c2的最小值為_____________

三、例題分析：

例

1、求證：若a、b>0,n>1,則an?bn?an?1b?abn?

1例

2、已知：a、b

?

例

3、a、b、c、d、m、n全是正數(shù)，比較p=ab?cdq=ma?nc?

例

4、比較aabb與baab(0?a?b)的大小。變題：求證：ab?(ab)

例

5、a∈r，函數(shù)f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?(a?0,b?0)

(1)判斷此函數(shù)的單調(diào)性。

n2(2)f(n)=,當函數(shù)f(x)?a?x為奇函數(shù)時，比較f(n),f(n)的大小.n?12?

1例

6、設二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的兩個根x1、x2滿足0?x1?x2?1。a

（1）當x?(0,x1)時，證明：x?f(x)?x

1（2）設函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x?x0對稱，證明：x0?

四、同步練習：g3.1038 不等式的證明—比較法

1、不等式：⑴x3＋3>2x；⑵a5＋b5

(a)⑴、⑵(b)⑴、⑶(c)⑶、⑷(d)⑴、⑵、⑶、⑷

2、對x?r都成立的不等式是?????????????????????()

(a)lg(x2?1)?lg2x(b)x2?1?2x(c)

3、0＜a＜1，f=2a，g=1?a，h=12(d)x?4?4x?12x?11，那么f、g、h中最小的是???（）1?a

(a)f(b)g(c)h(d)不能確定

4、a>b>0，則下列不等式恒成立的是??????????????????（）

b2?1b22a?bb11(a)?2(c)a??b?(d)aa>bb ?(b)2a?2baaba?1a5、x>100，那么lg2x,lgx2,lglgx從大到小的順序為.7(2x?2y)

6、若x、y滿足y?x2，則式log2?的符號是________。8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比較m=x＋y與n=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.8、比較xn?1?yn?1與xny?xyn(n?n,x,y?r?)大小

9、已知△abc的外接圓半徑r=1，s?abc?

t?111??。求證：t?s abc1，令s?a??c，b、a、c是三角形的三邊，4?a2??b2a?b2??()

10、設a、b為實數(shù)，求證：

4211、已知正數(shù)a、b、c滿足a?b?2c，求證：

（1）c2?ab

（2）c?c2?ab?a?c?c2?ab

答案：ddad5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、m?n.8、xn?1?yn?1?xny?xyn