總結(jié)讓我明白了自己在學(xué)習(xí)和工作中需要更有計(jì)劃和目標(biāo)，不能盲目行動(dòng)。寫心得體會(huì)時(shí)，要盡量用具體的例子和事實(shí)來支撐自己的觀點(diǎn)和看法。以下是小編為大家收集的心得體會(huì)范文，希望可以為大家提供一些啟發(fā)和參考。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇一

本節(jié)課是華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第24章的最后一節(jié)內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。一方面，這是在學(xué)習(xí)位似的基礎(chǔ)上，對(duì)位似的進(jìn)一步深入和拓展。另一方面，又為學(xué)習(xí)二次函數(shù)的平移奠定了基礎(chǔ)，是進(jìn)一步研究二次函數(shù)平移的工具性內(nèi)容。鑒于這種認(rèn)識(shí)，我認(rèn)為，本節(jié)課不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。

二、說教學(xué)目標(biāo)。

根據(jù)對(duì)本教材的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容分析，結(jié)合九年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及心理特征，我制定了以下的教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：理解點(diǎn)或圖形的變換引起的坐標(biāo)的變化規(guī)律，以及圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)的變化引起的圖形變換，并應(yīng)用于實(shí)際問題中。

2、過程與方法：經(jīng)歷圖形坐標(biāo)變化與圖形平移、軸對(duì)稱、放大、縮小等之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的形象思維。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，感受圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)變化與圖形變化之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)其應(yīng)用價(jià)值。

三、說教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。

本著數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材的基礎(chǔ)上，我確定了以下教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

教學(xué)重點(diǎn)：掌握?qǐng)D形坐標(biāo)變化與圖形變換之間的關(guān)系.

(重點(diǎn)是依據(jù)只有掌握了圖形坐標(biāo)變化與圖形變換之間的關(guān)系，才能理解和掌握?qǐng)D形的變換與坐標(biāo)的變化。)。

教學(xué)難點(diǎn)：圖形坐標(biāo)變化與圖形變換的規(guī)律。

(難點(diǎn)是依據(jù)圖形坐標(biāo)變化與圖形變換規(guī)律比較抽象，學(xué)生沒有這方面的基礎(chǔ)知識(shí)。)。

為了講清教材的重難點(diǎn)，使學(xué)生能夠達(dá)到本節(jié)課設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再從教法及學(xué)法上談?wù)勎业目捶ā?/p>

四、說教法。

結(jié)合本節(jié)的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生的年齡特征，本節(jié)課我采用啟發(fā)式、探究式、以及討論式相結(jié)合的教學(xué)方法，以問題的提出，問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)。以獨(dú)立思考和相互交流的形式，在教師的知道下發(fā)現(xiàn)問題，分析和解決問題，在引導(dǎo)分析時(shí)，給學(xué)生留出足夠的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生去思考，探索，從真正意義上完成知識(shí)的自我構(gòu)建。

五、說學(xué)法。

我們常說：“現(xiàn)代的文盲不是不懂字的人，而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人。”因而，我在教學(xué)過程中特別重視學(xué)法的指導(dǎo)。讓學(xué)生從機(jī)械的“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，成為學(xué)習(xí)的真正主人。指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)盡量避免單純地，直露地向?qū)W生灌輸知識(shí)。

最后我具體來談一談本節(jié)課的教學(xué)過程。

六、說教學(xué)過程。

在本節(jié)課的教學(xué)過程中，我注重突出重點(diǎn)，淡化難點(diǎn)，各項(xiàng)活動(dòng)的安排也注重互動(dòng)、交流，最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性、主動(dòng)性。

(一)創(chuàng)設(shè)情景，引入新課。

我用的是課本76頁的思考。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過回顧學(xué)過的知識(shí)，做好新知識(shí)的銜接。通過自己動(dòng)手操作，體會(huì)到將一個(gè)圖形平移就是將這個(gè)圖形上重要的點(diǎn)進(jìn)行平移，從而得出圖形平移后，坐標(biāo)的變化規(guī)律。

(二)探究新知。

探究一：

1、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化有什么規(guī)律?(學(xué)生口答)。

問題。

1、的設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過點(diǎn)對(duì)稱時(shí)坐標(biāo)的變化規(guī)律，為問題2圖形的對(duì)稱奠定基礎(chǔ)。淡化難點(diǎn)，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)勁的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

2、做出一個(gè)圖形關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形，并觀察新圖形的坐標(biāo)會(huì)發(fā)生什么變化?(學(xué)生動(dòng)手操作，后小組交流，總結(jié)規(guī)律)。

問題2的設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過動(dòng)手操作，合作交流得出規(guī)律，體驗(yàn)了知識(shí)的生成過程，培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手操作能力和概括能力，突出了教學(xué)的重點(diǎn)。

探究二：

1、是課本78頁的思考。

問題一的設(shè)計(jì)意圖：一方面，回顧學(xué)過的知識(shí)，另一方面，為下面的問題2做鋪墊。

2、觀察三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了什么變化?(小組討論交流后匯報(bào)交流結(jié)果)。

問題2的設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將上次探究的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于本問題的解決中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的升華，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的再次創(chuàng)新。

(三)小結(jié)。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你收獲了什么?

設(shè)計(jì)意圖：通過評(píng)價(jià)反思引導(dǎo)學(xué)生概括本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，這樣有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶，提高分析問題概括問題的能力。

(四)板書設(shè)計(jì)：

我比較注重直觀的系統(tǒng)的板書設(shè)計(jì)，并及時(shí)體現(xiàn)教材中的知識(shí)點(diǎn)，以便于學(xué)生能夠理解掌握。因此這節(jié)課的板書設(shè)計(jì)我主要采用表格讓學(xué)生看了一目了然。

圖形的變換與坐標(biāo)。

(五)布置作業(yè)：

針對(duì)九年級(jí)學(xué)生素質(zhì)的差異，我對(duì)作業(yè)進(jìn)行分層布置，布置了必做題和選做題，這樣既可以使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又可以使有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到拔尖和“減負(fù)”的目的。

我布置的本節(jié)課的作業(yè)是：

必做：78頁1、2題。

選做：在一次“尋寶”游戲中，尋寶人已經(jīng)找到了坐標(biāo)為a(4，5)和b(-4，5)的兩個(gè)點(diǎn)，并且知道藏寶地點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，除此之外還不知道2其他信息，如何確定坐標(biāo)系找到“寶藏”?畫出圖形。

結(jié)束語：

各位老師，各位評(píng)委，本節(jié)課我采用集體討論和活動(dòng)探究的教學(xué)方法，“以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”，教師的“導(dǎo)”立足于學(xué)生的“學(xué)”以學(xué)為重心，放手讓學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)方法，力求使學(xué)生在積極，愉快中提高自己的認(rèn)識(shí)水平，從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。

以上是我對(duì)本節(jié)課一些初淺的認(rèn)識(shí)和想法，有不足之處，希望各位老師批評(píng)指導(dǎo)。謝謝!

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數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇二

數(shù)學(xué)中值定理是微積分中非常重要的一條定理，它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西于19世紀(jì)提出的。這個(gè)定理使用了微積分中的中值定理，能夠幫助我們理解函數(shù)在一定條件下的平均變化率和瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系。通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用這個(gè)定理，我深深感受到了它的實(shí)用性和重要性。在這篇文章中，我將分享一下我對(duì)數(shù)學(xué)中值定理的心得體會(huì)。

首先，數(shù)學(xué)中值定理讓我了解到了函數(shù)的意義和特性。一個(gè)函數(shù)是由定義域和值域組成的，它可以用來描述一個(gè)物體或一種現(xiàn)象的規(guī)律。數(shù)學(xué)中值定理告訴我們，如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)，且在這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值不相等，那么總會(huì)有一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率與整個(gè)區(qū)間上的平均變化率相等。這個(gè)點(diǎn)就是函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的某個(gè)中值點(diǎn)。通過理解這個(gè)定理，我明白了函數(shù)在不同區(qū)間上的變化規(guī)律，同時(shí)也加深了對(duì)函數(shù)概念的理解。

其次，數(shù)學(xué)中值定理的應(yīng)用讓我喜歡上了解決實(shí)際問題的方法。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中值定理的過程中，我們常常需要將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，然后通過求導(dǎo)和使用中值定理來得到問題的解答。這個(gè)過程需要我們進(jìn)行大量的數(shù)學(xué)計(jì)算和邏輯推理，讓我養(yǎng)成了善于思考和解決問題的習(xí)慣。數(shù)學(xué)中值定理的應(yīng)用范圍非常廣泛，從物理學(xué)到經(jīng)濟(jì)學(xué)，從工程學(xué)到醫(yī)學(xué)，幾乎所有領(lǐng)域都會(huì)涉及到這個(gè)定理。掌握了數(shù)學(xué)中值定理，我們就可以通過數(shù)學(xué)的工具來解決實(shí)際生活中的問題，例如計(jì)算速度、估計(jì)函數(shù)的零點(diǎn)等等。

此外，數(shù)學(xué)中值定理也給我?guī)砹藢?duì)數(shù)學(xué)的興趣和探索的欲望。數(shù)學(xué)是一門充滿驚奇和魅力的學(xué)科，它蘊(yùn)含著許多深?yuàn)W的定理和漂亮的證明。而數(shù)學(xué)中值定理正是其中的一個(gè)例子。這個(gè)定理深入淺出地展示了函數(shù)的某些特性和性質(zhì)，通過它我們可以更好地理解和描繪函數(shù)。我常常會(huì)被這些數(shù)學(xué)定理和推論所吸引，想要更加深入地研究和探索。數(shù)學(xué)中值定理不僅僅是一條定理，更是觸發(fā)我對(duì)數(shù)學(xué)深入思考的催化劑。

最后，通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中值定理，我意識(shí)到了數(shù)學(xué)的價(jià)值和重要性。數(shù)學(xué)是一門普適的學(xué)科，它存在于我們生活的方方面面。數(shù)學(xué)中值定理作為微積分的基礎(chǔ)知識(shí)，是我們深入理解微積分的關(guān)鍵。而微積分作為數(shù)學(xué)的一支重要分支，又是許多學(xué)科的基石。因此，學(xué)好數(shù)學(xué)中值定理不僅是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要條件，更是我們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中值定理的掌握不僅能為我們的學(xué)業(yè)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也能夠培養(yǎng)我們的邏輯思維和問題解決的能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)中值定理是一條微積分中非常重要的定理，它提供了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上平均變化率和瞬時(shí)變化率之間的聯(lián)系。通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用這個(gè)定理，我認(rèn)識(shí)到了函數(shù)的意義和特性，喜歡上了解決實(shí)際問題的方法，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更深的興趣，并認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)的價(jià)值和重要性。數(shù)學(xué)中值定理不僅僅是一條定理，更是一扇通往數(shù)學(xué)世界的大門，通過它我們可以更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)，探索數(shù)學(xué)無窮的魅力。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇三

數(shù)學(xué)中值定理是微積分中的重要定理之一，它在求解函數(shù)的極值、證明存在性問題以及分析曲線的性質(zhì)方面具有廣泛的應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)與應(yīng)用中值定理，我不僅加深了對(duì)數(shù)學(xué)的理解，而且在解決實(shí)際問題時(shí)也有了新的思路。本文將就中值定理在函數(shù)極值、存在性和曲線分析中的應(yīng)用，以及我在學(xué)習(xí)中的體會(huì)進(jìn)行總結(jié)。

首先，中值定理在函數(shù)極值的求解中起到了重要的作用。中值定理表明，如果函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間上可導(dǎo)，那么這個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上必然存在一個(gè)點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)之差的比值。這個(gè)點(diǎn)就是函數(shù)在該區(qū)間上的駐點(diǎn)，即極值點(diǎn)。通過使用中值定理，我們可以先求出函數(shù)在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，然后找出使得導(dǎo)數(shù)值等于這個(gè)比值的駐點(diǎn)，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于，它不需要我們對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行具體細(xì)致的分析，只需要計(jì)算兩個(gè)導(dǎo)數(shù)值和比值即可。通過這種方式，我們可以更加簡(jiǎn)便地求得函數(shù)的極值點(diǎn)，為后續(xù)的推導(dǎo)和分析提供了基礎(chǔ)。

其次，中值定理在證明存在性問題中也具有重要的意義。對(duì)于某些復(fù)雜的函數(shù)，我們很難直接證明它們?cè)谀硞€(gè)區(qū)間上存在某個(gè)特定的性質(zhì)。但是，如果我們能夠證明這個(gè)函數(shù)在此區(qū)間上滿足中值定理的條件，那么根據(jù)中值定理的結(jié)論，我們就可以得到該性質(zhì)的存在性。這是因?yàn)橹兄刀ɡ砀嬖V我們，只要函數(shù)滿足一定的連續(xù)性和可導(dǎo)性條件，就必然存在某個(gè)點(diǎn)滿足特定的性質(zhì)。因此，通過運(yùn)用中值定理，我們可以將原本復(fù)雜的存在性問題轉(zhuǎn)化為更加直觀和易于處理的中值定理?xiàng)l件問題，從而簡(jiǎn)化了證明的難度和復(fù)雜度。

最后，中值定理在曲線分析中也扮演著重要的角色。在研究曲線的性態(tài)時(shí)，我們常常需要分析函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)、拐點(diǎn)、凹凸性和極值等等。而中值定理的應(yīng)用可以幫助我們發(fā)現(xiàn)圖像上的特殊點(diǎn)，進(jìn)而揭示曲線的內(nèi)在規(guī)律。例如，在研究一條函數(shù)曲線的拐點(diǎn)時(shí)，我們可以通過中值定理找出曲線在某個(gè)區(qū)間上的駐點(diǎn)，然后進(jìn)一步分析這個(gè)駐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)情況，從而判斷出拐點(diǎn)的存在與否。這種將中值定理與導(dǎo)數(shù)相關(guān)性質(zhì)相結(jié)合的方法，使我們?cè)谇€的分析中能夠更加深入地了解函數(shù)的行為規(guī)律，為我們研究曲線提供了更多的線索和信息。

總之，中值定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，對(duì)于求解函數(shù)極值、證明存在性問題以及分析曲線的性質(zhì)具有重要的幫助。通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用中值定理，我不僅加深了對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解，而且在解決實(shí)際問題時(shí)也能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法。在今后的學(xué)習(xí)和研究中，我將繼續(xù)深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，并且將中值定理這一重要的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用于更廣泛的領(lǐng)域，以期探索出更多數(shù)學(xué)的奧妙。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇四

知識(shí)與技能：

1、了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過程，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法。

2、了解勾股定理的內(nèi)容。

3、能利用已知兩邊求直角三角形另一邊的長(zhǎng)。

過程與方法：

1、通過拼圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維。

2、在探索活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過程和探索的結(jié)果。

情感與態(tài)度：

1、通過對(duì)勾股定理歷史的了解，對(duì)比介紹我國(guó)古代和西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國(guó)悠久文化的情感，激勵(lì)學(xué)生奮發(fā)學(xué)習(xí)。

2、在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得結(jié)論的快樂，鍛煉克服困難的勇氣，培養(yǎng)合作意識(shí)和探索精神。

二教學(xué)重、難點(diǎn)。

重點(diǎn)：探索和證明勾股定理難點(diǎn)：用拼圖方法證明勾股定理。

三、學(xué)情分析。

學(xué)生對(duì)幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步形成。部分學(xué)生解題思維能力比較高，能夠正確歸納所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)習(xí)小組討論交流，能夠形成解決問題的思路。

四、教學(xué)策略。

本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，由淺入深，由特殊到一般地提出問題，鼓勵(lì)學(xué)生采用觀察分析、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程。

五、教學(xué)過程。

教學(xué)環(huán)節(jié)。

教學(xué)內(nèi)容。

活動(dòng)和意圖。

創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課。

以“航天員在太空中遇到外星人時(shí)，用什么語言進(jìn)行溝通”導(dǎo)入新課，讓孩子們盡情發(fā)揮他們的想象.而華羅庚建議可以用勾股定理的圖形進(jìn)行和外星人溝通，為什么呢?通過一段vcr說明原因。

[設(shè)計(jì)意圖]激發(fā)學(xué)生對(duì)勾股定理的興趣，從而較自然的引入課題。

新知探究。

畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家。相傳在2500年以前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數(shù)量關(guān)系。

(1)同學(xué)們，請(qǐng)你也來觀察下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么?

(2)你能找出圖18.1-1中正方形1、2、3面積之間的關(guān)系嗎?

通過講述故事來進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺中進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)。

如圖，每個(gè)小方格代表1個(gè)單位面積，我們分別以a,b,c三邊為邊長(zhǎng)作正方形。

回答以下內(nèi)容：

(1)想一想，怎樣利用小方格計(jì)算正方形a、b、c面積?

(2)怎樣求出正方形面積c?

(3)觀察所得的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)?

(4)將正方形a,b,c分別移開，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形邊長(zhǎng)a,b,c有何數(shù)量關(guān)系?

引導(dǎo)學(xué)生將邊不在格線上的圖形轉(zhuǎn)化為邊在格線上的圖形，以便于計(jì)算圖形面積.

問題是思維的起點(diǎn)”，通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知。

探究交流歸納。

拼圖驗(yàn)證加深理解。

如圖，每個(gè)小方格代表1個(gè)單位面積，我們分別以a,b,c三邊為邊長(zhǎng)作正方形。

回答以下內(nèi)容：

(1)想一想，怎樣利用小方格計(jì)算正方形p、q、r的面積?

(2)怎樣求出正方形面積r?

(3)觀察所得的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)?

(4)將正方形p,q,r分別移開，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形邊長(zhǎng)a,b,c有何數(shù)量關(guān)系?

由以上兩問題可得猜想：

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

而猜想要通過證明才能成為定理。

活動(dòng)探究：

(1)讓學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行拼圖。

(2)多媒體課件展示拼圖過程及證明過程理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。

從特殊的等腰直角三角形過渡到一般的直角三角形。

滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用;培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學(xué)生在相互欣賞、爭(zhēng)辯、互助中得到提高。

通過這些實(shí)際操作，學(xué)生進(jìn)行一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解，拼圖也會(huì)產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，也為論證勾股定理做好準(zhǔn)備。

利用分組討論，加強(qiáng)合作意識(shí)。

1、經(jīng)歷所拼圖形與多媒體展示圖形的聯(lián)系與區(qū)別。

2、加強(qiáng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密教育，從而更好地理解代數(shù)與圖形相結(jié)合。

應(yīng)用新知解決問題。

在應(yīng)用新知這個(gè)環(huán)節(jié)，我把以往的單純求解邊長(zhǎng)之類的題目換成了幾個(gè)運(yùn)用勾股定理來解決問題的古算題。

把生活中的實(shí)物抽象成幾何圖形，讓學(xué)生了解豐富變幻的圖形世界，培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維能力，特別注重培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物，探索問題，解決實(shí)際的能力。

回顧小結(jié)整體感知。

在最后的小結(jié)中，不但對(duì)知識(shí)進(jìn)行小結(jié)更對(duì)方法要進(jìn)行小節(jié)，還可向?qū)W生介紹了美麗的圖案畢達(dá)哥拉斯樹，讓學(xué)生切身感受到其實(shí)數(shù)學(xué)與生活是緊密聯(lián)系的，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的另一種美。

學(xué)生通過對(duì)學(xué)習(xí)過程的小結(jié)，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法;通過梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力。。

布置作業(yè)鞏固加深。

必做題：

1.完成課本習(xí)題1,2,3題。

選做題：

針對(duì)學(xué)生認(rèn)知的差異設(shè)計(jì)了有層次的作業(yè)題，既使學(xué)生鞏固知識(shí)，形成技能，讓感興趣的學(xué)生課后探索，感受數(shù)學(xué)證明的靈活、優(yōu)美與精巧，感受勾股定理的豐富文化。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇五

該部分包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是f(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以f(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)c。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

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數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇六

數(shù)學(xué)中值定理是微積分學(xué)中的一個(gè)重要定理，它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵內(nèi)容之一。通過學(xué)習(xí)和運(yùn)用中值定理，我們可以更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。本文將對(duì)數(shù)學(xué)中值定理進(jìn)行探討，分享個(gè)人對(duì)中值定理的心得體會(huì)。

第二段：背景。

數(shù)學(xué)中值定理包含羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三個(gè)部分。盡管這三個(gè)定理的表述和條件各不相同，但它們都有一個(gè)共同的核心思想，即在某些條件下，函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)或某個(gè)區(qū)間內(nèi)必然存在某個(gè)特殊的取值。這些定理在微積分中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，可以用于證明一些重要的定理和推導(dǎo)出一些重要的公式。

第三段：理解中值定理的重要性。

理解中值定理的重要性體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。首先，中值定理提供了一種探究函數(shù)變化規(guī)律的方法。通過確定某個(gè)特殊取值點(diǎn)，可以推斷出函數(shù)的最值、極值、單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而對(duì)函數(shù)的行為有更深入的認(rèn)識(shí)。其次，中值定理與求導(dǎo)和微分息息相關(guān)。中值定理的證明往往依賴于導(dǎo)數(shù)和微分的性質(zhì)，因此，通過學(xué)習(xí)中值定理可以提升對(duì)求導(dǎo)和微分的理解與應(yīng)用能力。此外，中值定理也是其他數(shù)學(xué)定理的基礎(chǔ)。許多重要的數(shù)學(xué)定理，如泰勒定理、洛必達(dá)法則等，都是從中值定理推導(dǎo)而來的。

在學(xué)習(xí)中值定理的過程中，我深刻體會(huì)到它在數(shù)學(xué)問題解決中的重要性。一個(gè)典型的例子是應(yīng)用拉格朗日中值定理來證明函數(shù)的不等式。通過找到適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，并運(yùn)用中值定理，可以很方便地得到不等式兩邊的差值關(guān)系。我曾經(jīng)遇到過這樣一個(gè)問題：證明函數(shù)$f(x)=2x^3-11x^2+16x+5$在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞增。通過計(jì)算$f'(x)=6x^2-22x+16$，我發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間$[1,3]$上是連續(xù)的，然后我在該區(qū)間內(nèi)找到輔助函數(shù)$g(x)=6x-22$。接著，根據(jù)拉格朗日中值定理，我得到了$f(x)$在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞增的結(jié)論。這個(gè)例子充分展示了中值定理在解決函數(shù)性質(zhì)問題中的威力。

通過學(xué)習(xí)和運(yùn)用中值定理，我深刻領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美妙和智慧。中值定理給了我們一種探索函數(shù)本質(zhì)的方法，讓我們能夠更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。然而，中值定理并不只是一個(gè)在數(shù)學(xué)課堂上學(xué)習(xí)和應(yīng)用的理論工具，它更是一種思維方式和分析問題的方法。在日常生活中，我們也可以運(yùn)用中值定理的思想去分析問題、解決問題，提高我們的問題解決能力和創(chuàng)新意識(shí)。

總結(jié)：

數(shù)學(xué)中值定理作為微積分的關(guān)鍵內(nèi)容，對(duì)于我們正確理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律起到了重要的推動(dòng)作用。通過深入學(xué)習(xí)和運(yùn)用，我們不僅可以更好地掌握微積分的核心思想和方法，還可以提高我們的問題解決能力和創(chuàng)新意識(shí)。因此，我們應(yīng)該在學(xué)習(xí)中值定理的過程中，注重理解其背后的原理和思想，以期能夠更好地應(yīng)用和發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇七

很多幾何證明題的思路往往是填加輔助線，分析已知、求證與圖形，探索證明。

對(duì)于證明題，有三種思考方式：

(1)正向思維。對(duì)于一般簡(jiǎn)單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細(xì)講述了。

(2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)的更加明顯。

同學(xué)們認(rèn)真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結(jié)論出發(fā)。

例如：

可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結(jié)合圖形可以看出，只要證出某兩個(gè)三角形相等即可;要證三角形全等，結(jié)合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個(gè)條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。

(3)正逆結(jié)合。對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析。

初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點(diǎn)倍長(zhǎng)法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對(duì)角線，或補(bǔ)形等等。正逆結(jié)合，戰(zhàn)無不勝。

證明題要用到。

哪些原理?

下面歸類一下，多做練習(xí)，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類型原理來解決問題。

一、證明兩線段相等。

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對(duì)等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓(或等圓)中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。

10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項(xiàng)(或兩后項(xiàng))相等的比例式中的兩后項(xiàng)(或兩前項(xiàng))相等。

12.兩圓的內(nèi)(外)公切線的長(zhǎng)相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩個(gè)角相等。

1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對(duì)等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線(或高)平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。

5.同角(或等角)的余角(或補(bǔ)角)相等。

6.同圓(或圓)中，等弦(或弧)所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。

7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。

10.等于同一角的兩個(gè)角相等。

三、證明兩條直線互相垂直。

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。

10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。

11.利用半圓上的圓周角是直角。

四、證明兩直線平行。

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。

3.平行四邊形的對(duì)邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊(或延長(zhǎng)線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

五、證明線段的和差倍分。

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。

4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理(三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等)。

六、證明角的和差倍分。

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

七、證明線段不等。

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

八、證明兩角的不等。

1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

九、證明比例式或等積式。

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。

5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

十、證明四點(diǎn)共圓。

1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。

2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。

3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓(頂角在底邊的同側(cè))。

4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。

5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇八

這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會(huì)證。

費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結(jié)論為f'(x0)=0。考慮函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個(gè)條件怎么用?！癴(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學(xué)語言即f(x)-f(x0)0(或0)，對(duì)x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達(dá)式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負(fù)號(hào)。若能得出函數(shù)部分的符號(hào)，如何得到極限值的符號(hào)呢?極限的保號(hào)性是個(gè)橋梁。

費(fèi)馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個(gè)考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導(dǎo)”和“端值相等”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(diǎn)(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。該定理的證明不好理解，需認(rèn)真體會(huì)：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當(dāng)然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時(shí)代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。

前面提過費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)——“可導(dǎo)”和“取極值”，“可導(dǎo)”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個(gè)條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個(gè)條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關(guān)系?這個(gè)點(diǎn)需要想清楚，因?yàn)橹苯佑绊懴旅嫱评淼淖呦?。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種情況下費(fèi)馬引理?xiàng)l件完全成立，不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個(gè)定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個(gè)的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結(jié)論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對(duì)比一下兩個(gè)定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號(hào)右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對(duì)拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項(xiàng)即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對(duì)哪個(gè)函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程——看等號(hào)左側(cè)的式子是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個(gè)過程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查：根據(jù)這個(gè)犯罪現(xiàn)場(chǎng)，反推嫌疑人是誰。當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的題目直接觀察;復(fù)雜一些的，可以把中值換成x，再對(duì)得到的函數(shù)求不定積分。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇九

這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會(huì)證。

費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結(jié)論為f'(x0)=0?？紤]函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個(gè)條件怎么用?！癴(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學(xué)語言即f(x)-f(x0)0(或0)，對(duì)x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達(dá)式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負(fù)號(hào)。若能得出函數(shù)部分的符號(hào)，如何得到極限值的符號(hào)呢?極限的保號(hào)性是個(gè)橋梁。

費(fèi)馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個(gè)考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導(dǎo)”和“端值相等”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(diǎn)(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。

該定理的證明不好理解，需認(rèn)真體會(huì)：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當(dāng)然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時(shí)代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。

前面提過費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)——“可導(dǎo)”和“取極值”，“可導(dǎo)”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個(gè)條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個(gè)條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。

那么最值和極值是什么關(guān)系?這個(gè)點(diǎn)需要想清楚，因?yàn)橹苯佑绊懴旅嫱评淼淖呦?。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值；若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種情況下費(fèi)馬引理?xiàng)l件完全成立，不難得出結(jié)論；若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個(gè)定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟；此外，這兩個(gè)的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結(jié)論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對(duì)比一下兩個(gè)定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號(hào)右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對(duì)拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項(xiàng)即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對(duì)哪個(gè)函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程——看等號(hào)左側(cè)的式子是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個(gè)過程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查：根據(jù)這個(gè)犯罪現(xiàn)場(chǎng)，反推嫌疑人是誰。當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的題目直接觀察；復(fù)雜一些的，可以把中值換成x，再對(duì)得到的函數(shù)求不定積分。

2015年真題考了一個(gè)證明題：證明兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。幾乎每位同學(xué)都對(duì)這個(gè)公式怎么用比較熟悉，而對(duì)它怎么來的較為陌生。實(shí)際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會(huì)在基礎(chǔ)階段講到。如果這個(gè)階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用，而不關(guān)心結(jié)論怎么來的，那很可能從未認(rèn)真思考過該公式的證明過程，進(jìn)而在考場(chǎng)上變得很被動(dòng)。這里給2017考研學(xué)子提個(gè)醒：要重視基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，那些真題中未考過的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過。

當(dāng)然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出一個(gè)極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達(dá)法則，因?yàn)榉肿拥膶?dǎo)數(shù)不好算(乘積的導(dǎo)數(shù)公式恰好是要證的，不能用!)。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項(xiàng)，減一項(xiàng)。這個(gè)“無中生有”的項(xiàng)要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項(xiàng)兩兩配對(duì)，除以分母后考慮極限，不難得出結(jié)果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式。

該定理?xiàng)l件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間(閉區(qū)間)上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號(hào)外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理(介值定理和零點(diǎn)存在定理)，理由更充分些：上述兩個(gè)連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)，而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。

若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么到底選擇哪個(gè)定理呢?這里有個(gè)小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點(diǎn)存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自明了。

若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對(duì)比一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點(diǎn)處的函數(shù)值，而等號(hào)另一邊為常數(shù)a。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。等式兩邊同時(shí)除以區(qū)間長(zhǎng)度，就能達(dá)到我們的要求。當(dāng)然，變形后等號(hào)一側(cè)含有積分的式子的長(zhǎng)相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，看清楚定積分的值是一個(gè)數(shù)，進(jìn)而定積分除以區(qū)間長(zhǎng)度后仍為一個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)就相當(dāng)于介值定理結(jié)論中的a。

接下來如何推理，這就考察各位對(duì)介值定理的熟悉程度了。該定理?xiàng)l件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實(shí)數(shù)a位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結(jié)論是該實(shí)數(shù)能被取到(即a為閉區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長(zhǎng)度這個(gè)實(shí)數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個(gè)定積分的值的范圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

該部分包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是f(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以f(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)c。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

數(shù)學(xué)定理證明的心得體會(huì)篇十

2、兩點(diǎn)之間線段最短。

3、同角或等角的補(bǔ)角相等。

4、同角或等角的余角相等。

5、過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直。

6、直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。

7、平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。

9、同位角相等，兩直線平行。

10、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

11、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

12、兩直線平行，同位角相等。

13、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

15、定理三角形兩邊的和大于第三邊。

16、推論三角形兩邊的差小于第三邊。

17、三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。

18、推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

19、推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

20、推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

21、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。

22、邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

23、角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

24、推論(aas)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

25、邊邊邊公理(sss)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

26、斜邊、直角邊公理(hl)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

27、定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

28、定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。