2023年泊松分布證明題模板

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泊松分布證明題篇一

如果我們學(xué)習(xí)的目的是為了理解一樣?xùn)|西，那么我們就有必要停下來去思考一下諸如“為什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意義是什么？”這樣的“哲學(xué)”問題。

如果我們要向一個石器時代的人解釋什么是電話，我們一定會說：“電話是一種機(jī)器，兩個距離很遠(yuǎn)的人可以通過它進(jìn)行交談”，而不會說：“電話在18xx年由貝爾發(fā)明，一臺電話由幾個部分構(gòu)成??”（泊松分布在18xx年由泊松提出，泊松分布的公式是??）所以我們問的第一個問題應(yīng)該是“泊松分布能拿來干嘛？”

泊松分布最常見的一個應(yīng)用就是，它作為了排隊論的一個輸入。什么是排隊論？比如我們?nèi)ッ刻焓程么蝻?，最頭疼的一個問題就是排隊，之所以要排隊是因為食堂打飯的大叔有限，假設(shè)學(xué)校有1000個學(xué)生，而食堂恰好配了1000個大叔和打飯的窗口，那么就永遠(yuǎn)不會有人排隊。但是出于經(jīng)營成本方面的考慮食堂通常不會這么干，因此如何控制窗口的數(shù)量并且保證學(xué)生不會因為排隊時間太長而起義是一門很高深的學(xué)問。

在一段時間t（比如1個小時）內(nèi)來到食堂就餐的學(xué)生數(shù)量肯定不會是一個常數(shù)（比如一直是200人），而應(yīng)該符合某種隨機(jī)規(guī)律：比如在1個小時內(nèi)來200個學(xué)生的概率是10%，來180個學(xué)生的概率是20%??一般認(rèn)為，這種隨機(jī)規(guī)律服從的就是泊松分布。

也就是在單位時間內(nèi)有k個學(xué)生到達(dá)的概率為：

其中為單位時間內(nèi)學(xué)生的期望到達(dá)數(shù)。

問題是“這個式子是怎么來的呢？”——我們知道泊松分布是二項分布滿足某種條件的一個特殊形式，因此可以先從簡單的二項分布入手，尋找兩者之間的聯(lián)系。

二項分布很容易理解，比如一個牛仔一槍打中靶子的概率是p，如果我們讓他開10槍，如果每擊中一次目標(biāo)就得1分，問他一共能得幾分？雖然我們不能在牛仔射擊前準(zhǔn)確地預(yù)測出具體的得分k，但可以求出k的概率分布，比如k=9的概率是50%，k=8分的概率是30%……并且根據(jù)k的分布來判斷他的槍法如何，這便是概率統(tǒng)計的思想。

具體計算的方法就是求出“得k分”的概率。比如“得9分”可以是“射失第1發(fā)，而命中其余的9發(fā)”，它的概率是p的9次方乘上1-p。

x o o oo o oooo o x o ooooooo o o x o oooooo ……

根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，在。

同理，“得k分”的概率就是

。而對于一個神槍手（p=1）來講，他“得

種情況下，牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率10分”的概率就是1。

二項分布和泊松分布最大的不同是前者的研究對象是n個離散的事件（10次射擊），而后者考察的是一段連續(xù)的時間（單位時間）。因此泊松分布就是在二項分布的基礎(chǔ)上化零為整。

如果我們把單位時間劃分成n個細(xì)小的時間片，假設(shè)在每個時間片內(nèi)牛仔都在射擊，只是這次他發(fā)射的不是子彈，而是學(xué)生——“命中目標(biāo)”就代表向食堂成功地發(fā)射出一個學(xué)生，如果“沒有命中”就表示學(xué)生被打到了食堂意外的其它地方。如果n不是無窮大，那么在某個時間片內(nèi)可能出現(xiàn)兩個學(xué)生同時進(jìn)入食堂的狀況，這樣的話就和我們假設(shè)任意的時間片內(nèi)之可能發(fā)生“有一個學(xué)生出現(xiàn)”或“沒有學(xué)生出現(xiàn)”不符，為了能用二項分布去近似泊松分布，因此n必須趨向無窮，時間片必須無窮小，這也是為什么泊松分布的前提之一是“n很大”的原因！（另一個前提是“p很小”）

這樣一來我們就可以用二項分布的公式表示單位時間到來k個學(xué)生的概率了。在單位時間內(nèi)發(fā)生n次獨立的“發(fā)射學(xué)生”實驗，把學(xué)生“發(fā)射”到食堂的概率是p：

那么單位時間內(nèi)食堂到來k個學(xué)生的概率

把組合數(shù)展開，上下同乘把，拆成k個p連乘的形式放到左邊分子上，調(diào)整，因為，令，這就是我們熟悉的泊松公式，其中的物理意義是單位時間內(nèi)學(xué)生到來的數(shù)量，也就是平均到達(dá)率，是一個常數(shù)。

泊松分布證明題篇二

泊松分布定義2.7：若隨機(jī)變量x的概率分布為p{x=k}=（λ^k/k!）* [e^（-λ）](k=0,1,2,…),其中，λ>0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作x~p（λ）

推導(dǎo)：

n很大，p很小時，類似二項分布

p{x=k}=

（因為：n極大，p無限接近于0，λ為大于0的常數(shù)，所以近似認(rèn)為n*(n-1)…=n^k,n=λ/p）

p{x=k}=

*(p^k)*[(1-p)^(n-k)] climnnp??00,?0klimnp(n^k/k!)*(p^k)*[(1-p)^(λ/p-k)]

??00,?0（λ=n*p）=

(因為：lim[(1-p)^(-1/p)]~e,(1-p)~1,(1-p)^(-k)~1))p?0limnp(λ^k/k!)*{[(1-p)^(-1/p)]^(-λ)}*[(1-p)^(-k)]

??00,?0

p{x=k} = 推導(dǎo)完畢 limnp(λ^k/k!)*[e^(-λ)] ??00,?0